머신비전 렌즈 초점거리 계산하는 법

OPTICS

WD 200 mm에서 가로 100 mm를 보려고 12 mm 렌즈를 고르면 근사식으로는 양쪽에 3.3 mm씩 남지만, 얇은 렌즈 식으로 다시 풀면 0.13 mm만 남습니다.

작동 거리와 시야와 센서 크기 세 값으로 초점거리를 구하고, 같은 숫자로 100 μm 결함이 화면에 몇 칸 담기는지까지 따라갔습니다.

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검사 대상은 녹색 솔더 마스크로 덮인 PCB의 가로 100 mm 구간입니다. 솔더 마스크는 빛을 비교적 고르게 흩어 보내지만, 그 사이로 드러난 구리 패드와 금도금 단자는 거울처럼 한 방향으로 빛을 튕겨 냅니다. 렌즈 계산은 이 표면 조건과 상관없이 같은 식으로 끝나고, 계산이 끝난 뒤 결함이 실제로 보일지는 조명과 표면이 정합니다. 그래서 숫자로 정할 수 있는 몫을 정확히 정해 두는 일이 첫 단계입니다.

렌즈를 카탈로그에서 감으로 고르면 비용이 늦게 드러납니다. 25 mm로 주문했다가 화면이 좁아 16 mm로 바꾸고, 그사이 카메라 브래킷 높이를 두 번 다시 깎는 식이죠. 시야 끝에 걸린 부품 한 줄이 화면 밖으로 밀려나면 그 줄의 결함은 검사 대상에서 조용히 빠지고, 불량은 출하 뒤에야 돌아옵니다.

초점거리는 계산으로 나옵니다. 필요한 값은 세 개이고, 식은 한 줄입니다. 다만 흔히 쓰는 한 줄짜리 근사식에는 배율만큼의 오차가 숨어 있어서, 저는 근사식으로 후보를 고르고 얇은 렌즈 식으로 한 번 더 검산합니다.

세 값을 넣으면 초점거리가 나온다

필요한 세 값은 작동 거리 WD¹, 한 화면에 담을 범위인 시야 FOV², 그리고 카메라 센서의 가로 길이입니다. 센서 크기는 1/2인치처럼 인치로 부르지만 실제 치수와 맞지 않는 관례 표기³라서, 사양서에서 밀리미터 값을 따로 찾아야 합니다. 가로 100 mm를 200 mm 떨어진 곳에서 1/2인치 센서(가로 6.4 mm)로 본다면 근사식 f ≈ 센서 가로 × WD ÷ FOV에 넣어 6.4 × 200 ÷ 100 = 12.8 mm가 나옵니다. 이 값이 필요한 초점거리⁴입니다.

식이 이렇게 단순한 이유는 닮은 삼각형 두 개에 있습니다. 렌즈 중심에서 센서까지의 거리와 렌즈 중심에서 물체까지의 거리가 같은 꼭짓점을 공유하니, 센서 폭과 시야의 비율이 두 거리의 비율과 같아집니다. 필름 카메라에서 50 mm 렌즈를 표준이라고 부르는 것도 같은 비율 이야기입니다. 가로 36 mm 필름에서 50 mm 렌즈는 가로 39.6°를 보지만, 가로 6.4 mm 센서에 같은 렌즈를 달면 7.3°만 봅니다. 초점거리 숫자 하나로는 화면 크기가 정해지지 않습니다. 센서와 짝을 지어야 뜻이 생기죠.

광학 포맷	가로 (mm)	세로 (mm)	대각선 (mm)
1/3인치	4.8	3.6	6.0
1/2.5인치	5.7	4.3	7.2
1/2인치	6.4	4.8	8.0
1/1.8인치	7.2	5.4	9.0
2/3인치	8.8	6.6	11.0
1인치	12.8	9.6	16.0
4/3인치	17.3	13.0	21.6

표의 치수는 관례로 쓰는 값이고 제조사마다 조금씩 다릅니다. 같은 1/2인치라도 화소 수와 화소 크기에 따라 가로 길이가 달라지니, 계산에는 화소 크기 × 가로 화소 수로 구한 값을 넣는 편이 안전합니다. 1,600 × 1,200 px에 화소 4.0 μm인 센서라면 가로는 6.4 mm로 표와 맞아떨어집니다.

근사식이 남긴 여유는 얇은 렌즈 식에서 사라진다

12.8 mm라는 렌즈는 없으니 12 mm와 16 mm 가운데서 고르게 됩니다. 근사식으로 거꾸로 풀면 12 mm는 시야 106.7 mm, 16 mm는 80 mm라서 16 mm는 100 mm를 다 담지 못하고, 12 mm는 양쪽에 3.3 mm씩 남는 것처럼 보입니다. 여기서 멈추면 안 되는 이유가 배율⁵입니다. 근사식은 상이 초점거리 자리에 맺힌다고 보는데, 물체가 가까울수록 상은 초점거리보다 조금 뒤에 맺힙니다.

얇은 렌즈 식 1/f = 1/u + 1/v로 다시 풀면, 렌즈 중심에서 물체까지 200 mm일 때 필요한 초점거리는 12.03 mm입니다. 근사식의 12.8 mm는 배율 0.064만큼, 곧 6.4 % 크게 나온 값이죠. 12 mm 렌즈를 그대로 200 mm에 걸면 시야는 6.4 × (200 − 12) ÷ 12 = 100.27 mm로, 양쪽 여유가 0.13 mm에 그칩니다. 거의 없는 셈입니다. 기판이 치구에 0.2 mm만 비뚤게 놓여도 끝줄 부품의 가장자리가 화면 밖으로 나갑니다.

그림의 계산 흐름은 근사식으로 출발한 첫 단계입니다. 배율이 0.1을 넘는 셋업이라면 두 식의 차이가 10 %를 넘으니 처음부터 얇은 렌즈 식으로 계산하는 편이 맞습니다.

저라면 WD를 10 mm 늘려 210 mm로 잡습니다. 같은 12 mm 렌즈로 시야가 105.6 mm가 되어 양쪽에 2.8 mm씩 여유가 생깁니다. 16 mm 렌즈를 꼭 쓰고 싶다면 시야 100 mm를 위해 WD를 266 mm까지 올려야 하는데, 그 높이에 카메라를 걸 자리가 있는지는 설비 도면이 답합니다.

화면이 맞아도 결함이 몇 칸인지는 따로 센다

화면 크기가 맞았다고 검사가 되는 것은 아닙니다. 한 화소가 물체 위에서 차지하는 길이, 곧 물체측 화소 분해능⁶은 시야를 가로 화소 수로 나눠 구합니다. 1,600 px 카메라로 105.6 mm를 보면 한 칸이 66 μm이고, 폭 100 μm 결함은 1.52칸에 걸칩니다. 결함이 한두 칸에 걸치면 화소 경계와 겹치는 위치에 따라 밝기 차이가 반으로 갈라져서, 같은 결함이 어떤 기판에서는 보이고 어떤 기판에서는 사라집니다. 검출이 운에 맡겨지는 셈이죠.

제 기준은 가장 작은 결함이 세 칸 이상입니다. 그러려면 한 칸이 33.3 μm 이하여야 하고, 시야 105.6 mm를 그대로 두면 가로 3,168 px가 필요합니다. 가로 4,096 px, 화소 3.45 μm 센서로 바꾼다고 가정하면 센서 가로가 14.13 mm로 커지고, 초점거리도 다시 계산해야 합니다. WD 210 mm에서 25 mm 렌즈를 쓰면 시야 104.6 mm, 한 칸 25.5 μm이고, 100 μm 결함은 3.92칸에 담깁니다.

센서를 바꾸면 렌즈 등급도 같이 바뀝니다. 가로 14.13 mm, 세로 10.35 mm 센서의 대각선은 17.5 mm라서, 렌즈가 상을 고르게 비추는 원의 지름인 이미지 서클⁷이 17.5 mm 이상이어야 네 모서리가 어두워지지 않습니다. 화소가 3.45 μm로 작아졌으니 저는 그 화소 크기를 감당하는 해상력 등급인지도 렌즈 사양서에서 함께 봅니다. 결함을 세 칸에 담으려고 바꾼 카메라 한 대가 렌즈 지름과 값까지 끌어올리는 셈입니다.

렌즈 사양서에서 찾아야 할 세 줄

계산이 끝나면 렌즈 사양서에서 세 줄을 찾습니다. 첫 줄은 최단 촬영 거리⁸입니다. 렌즈마다 초점이 맞는 가장 가까운 거리가 있어서, 계산한 WD 210 mm가 그보다 짧으면 그 렌즈로는 초점이 맞지 않습니다. 둘째 줄은 이미지 서클이고, 셋째 줄은 화면 가장자리의 왜곡⁹입니다.

왜곡은 가장자리로 갈수록 상의 위치가 이상적인 자리에서 조금씩 밀리는 현상입니다. 가장자리 왜곡을 0.1 %로 가정하면 반 시야 52.3 mm 끝에서 52 μm, 한 칸 25.5 μm 기준으로 두 칸입니다. 흠집이 있는지 없는지만 보는 검사라면 두 칸 밀림은 큰 문제가 아니지만, 부품 위치나 치수를 재는 검사라면 그대로 측정 오차가 됩니다. 그런 검사라면 저는 배율이 물체 거리와 상관없이 거의 일정한 텔레센트릭 렌즈¹⁰를 먼저 검토합니다.

셋업	① 최소 불량 크기	② 광학 셋업 · WD	③ 알고리즘 파라미터 · 풀어 쓰면
근사식 그대로	100 μm = 1.60칸 (62.7 μm/칸)	1/2인치 1,600 px, 12 mm 렌즈, WD 200 mm, 시야 100.27 mm (양쪽 여유 0.13 mm)	세 칸 기준 미달. 결함 판정 이전에 기판 정렬 여유가 먼저 모자란다
WD만 조정	100 μm = 1.52칸 (66 μm/칸)	1/2인치 1,600 px, 12 mm 렌즈, WD 210 mm, 시야 105.6 mm (양쪽 여유 2.8 mm)	정렬 여유는 생기지만 결함은 여전히 세 칸 미달. 300 μm 이상 결함용
센서까지 교체	100 μm = 3.92칸 (25.5 μm/칸)	가로 4,096 px 화소 3.45 μm, 25 mm 렌즈, WD 210 mm, 이미지 서클 17.5 mm 이상	결함 후보 최소 폭 3 px. 위치를 재는 판정이면 가장자리 두 칸 밀림을 보정한 뒤 쓴다

표를 줄 단위로 읽어 내려가면 초점거리 계산은 첫 줄의 정렬 여유를 고칠 뿐이고, 결함을 세 칸에 담는 일은 센서와 렌즈 등급을 함께 바꿔야 끝난다는 점이 보입니다. 반대로 결함이 300 μm 이상으로 크고 정렬 여유만 필요한 검사라면, 1/2인치 카메라와 12 mm 렌즈를 WD 210 mm에 거는 둘째 줄이 값과 설치 공간 모두에서 낫습니다. 구리 패드처럼 광택이 강한 자리에서 이 칸 수만큼 대비가 실제로 나올지는 샘플 테스트 전 확언 불가입니다.

계산으로 고른 렌즈가 덜어 주는 일

렌즈 선정 순서는 가장 작은 결함 크기에서 출발해 한 칸의 크기, 화소 수와 시야, 설치할 수 있는 WD, 초점거리, 실제 렌즈 규격 순으로 내려갑니다. 저라면 이 순서를 사양서 첫 장에 한 줄씩 적고, 계산값과 가장 가까운 규격을 고른 뒤 시야와 칸 수를 얇은 렌즈 식으로 다시 확인합니다. 입문하신다면 1,600 px 카메라와 12 mm 렌즈로 두 식을 손으로 한 번씩 풀어 보시길 권합니다. 0.13 mm와 3.3 mm의 차이를 직접 보면 근사식을 대하는 태도가 달라집니다.

렌즈 계산을 사양서 단계에서 끝내 두는 것이 머신비전 엔지니어의 몫이고, 그래야 시운전 때 브래킷을 다시 깎는 일이 줄어듭니다. 구매를 결정하는 자리에서 보면 렌즈 값은 카메라 값에 비해 작아도, 렌즈를 잘못 고른 대가는 센서 교체와 치구 재가공으로 불어납니다. 이 글은 기술 설명이며 투자 권유가 아닙니다. 자세한 내용은 면책조항을 참고하세요.

현장 노트

새 셋업이라면 저는 렌즈를 주문하기 전에 설비 도면에서 기판 윗면과 카메라 장착면 사이에 210 mm 자리가 실제로 나오는지 잽니다. 그다음 1,600 px 카메라를 임시로 걸어 눈금자를 찍고, 화면 가로에 담긴 길이를 1,600으로 나눠 한 칸이 계산한 66 μm에 맞는지 확인합니다. 렌즈의 실제 주점 위치는 사양서마다 달라서 WD를 렌즈 앞면 기준으로 재면 계산과 몇 mm 어긋나는데, 그 차이는 눈금자 사진 한 장이 잡아 줍니다.

현장 체크포인트

눈금자 사진으로 한 칸의 크기를 확인했다면, 사양서에 옮길 숫자를 아래 질문으로 하나씩 점검합니다.

• WD 210 mm가 렌즈와 조명 기구를 넣고도 설비 안에서 확보되는가? (카메라를 걸 높이가 실제로 있는지)
• 센서 가로와 시야를 같은 방향의 값으로 넣어 계산했는가? (가로는 가로끼리, 세로는 세로끼리)
• 얇은 렌즈 식으로 다시 푼 시야가 기판 폭에 정렬 오차를 더한 값보다 넓은가? (12 mm 렌즈, WD 200 mm라면 여유 0.13 mm)
• 가장 작은 결함이 세 칸 이상으로 담기는가? (100 μm 결함이라면 한 칸 33.3 μm 이하)
• 렌즈 이미지 서클이 센서 대각선보다 크고, 최단 촬영 거리가 WD보다 짧은가? (4,096 px 센서라면 17.5 mm 이상)
• 광택이 강한 패드에서 대비가 나오는지 샘플 사진으로 확인했는가? (계산만으로 검출을 단정하지 않는지)

자주 묻는 질문

대각선 길이로 계산하면 안 되나요?

센서 대각선과 시야 대각선을 짝지어 넣으면 식 자체는 맞습니다. 다만 검사 대상은 보통 가로나 세로 한 방향의 폭이 정해져 있고, 화면 비율이 4:3인 센서로 대각선만 맞추면 정작 필요한 가로가 모자랄 수 있습니다. 판정에 쓰는 방향의 치수로 계산하고, 나머지 방향은 결과로 확인하는 편이 실수가 적습니다.

줌 렌즈를 쓰면 계산 없이 맞출 수 있지 않나요?

줌 렌즈는 셋업 중에 화면을 맞춰 보기에는 편하지만, 진동이나 손길로 초점거리가 바뀌면 한 칸의 크기가 함께 바뀝니다. 검사 라인에는 고정 초점 렌즈를 쓰고 초점 링을 고정해 두는 쪽이 안전합니다. 네 값을 넣어 시야와 피사계 심도를 한 번에 돌려 보고 싶다면 렌즈 계산기 글을 함께 보시면 됩니다.

용어 풀이

• [1] WD working distance, 작동 거리
  렌즈에서 검사할 면까지의 거리입니다. 본문 계산은 얇은 렌즈 근사로 렌즈 중심을 기준으로 잡았고, 실제 렌즈는 앞면 기준 값이 사양서에 따로 적힙니다. ↩
• [2] FOV field of view, 시야
  카메라 한 화면에 담기는 물체 위의 범위입니다. 가로와 세로를 따로 적습니다. ↩
• [3] 광학 포맷 optical format
  1/2인치, 2/3인치처럼 센서 크기를 부르는 관례 표기입니다. 옛 촬상관 지름에서 온 이름이라 실제 센서 대각선과 맞지 않습니다. ↩
• [4] 초점거리 focal length
  평행하게 들어온 빛이 렌즈를 지나 한 점에 모이는 거리입니다. 같은 센서에서 초점거리가 짧을수록 넓게 봅니다. ↩
• [5] 배율 magnification
  센서 위 상의 크기를 물체 크기로 나눈 값입니다. 가로 6.4 mm 센서로 100 mm를 보면 배율은 0.064입니다. ↩
• [6] 물체측 화소 분해능 object-side pixel resolution
  화소 한 칸이 물체 위에서 차지하는 길이입니다. 시야를 가로 화소 수로 나눠 μm/px로 적습니다. ↩
• [7] 이미지 서클 image circle
  렌즈가 상을 고르게 비출 수 있는 원의 지름입니다. 센서 대각선보다 작으면 네 모서리가 어둡게 찍힙니다. ↩
• [8] 최단 촬영 거리 minimum object distance, MOD
  그 렌즈로 초점을 맞출 수 있는 가장 가까운 물체 거리입니다. ↩
• [9] 왜곡 distortion
  화면 가장자리로 갈수록 상의 위치가 이상적인 자리에서 밀리는 정도입니다. 보통 %로 적습니다. ↩
• [10] 텔레센트릭 렌즈 telecentric lens
  물체 쪽 주광선이 광축과 평행해서 물체가 앞뒤로 조금 움직여도 크기가 거의 변하지 않는 렌즈입니다. 치수 측정에 많이 씁니다. ↩

참고 자료

• 계산식: 근사식 f ≈ 센서 가로 × WD ÷ FOV, 얇은 렌즈 식 1/f = 1/u + 1/v와 배율 m = 센서 가로 ÷ FOV에서 f = u × m ÷ (1 + m), 시야 = 센서 가로 × (WD − f) ÷ f, 한 칸 = 시야 ÷ 가로 화소 수, 화각 = 2 × atan(센서 가로 ÷ 2 ÷ f)
• 광학 포맷 치수: 표의 값은 관례 치수이며 실제 값은 카메라 사양서의 화소 크기 × 화소 수 기준
• 가정값: 4,096 × 3,000 px·화소 3.45 μm 센서, 가장자리 왜곡 0.1 %는 계산 예시를 위한 가정

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